Řešte kvadratické rovnice:
Určete koeficienty rovnice \$a,b,c\$, diskriminant \$D=b^2-4*a*c\$ a řešte pomocí vzorce \$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}, x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2*a}\$.
Pokud má rovnice řešení v oboru reálných čísel, tak ve všech příkladech proveďte zkoušku!
1. příklad: \$-x^2-4=0\$
Nemá v reálných číslech řešení, protože diskriminant \$D=b^2-4*a*c=0^2-4*(-1)*(-4)=-16 \lt 0\$
2. příklad: \$frac{1}{2}*x^2-15*x+9=0\$, výsledek vypočítejte přesně a poté přibližně, zaokrouhlený na 2 desetinná místa.
Koeficienty: \$a=frac{1}{2}, b=-15, c=9\$.
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-15)^2-4*frac{1}{2}*9=225-2*9=225-18=207\$
Kořeny: \$x_1=frac{-(-15)+sqrt{207}}{2*frac{1}{2}}=15+sqrt{207}=15+sqrt{9*23}=15+3sqrt{23}\$
\$x_2=frac{-(-15)-sqrt{207}}{2*frac{1}{2}}=15-3sqrt{23}\$
\$x_1=15-3*sqrt{23} \approx 0.61\$; \$x_2=15+3*sqrt{23} \approx 29.39\$;
Zkouška:
Při ručním výpočtu použijeme již známé vzorce:
\$(u+v)^2=u^2+2*u*v+v^2\$
\$(u-v)^2=u^2-2*u*v-v^2\$
\$u=15\$ a \$v=3*sqrt{3}\$
\$L_1=frac{1}{2}*(15+3sqrt{23})^2-15*(15+3*sqrt{23})+9=frac{1}{2}(15^2+2*15*3*sqrt{23}+9*sqrt{23}^2)-225-45*sqrt{23}+9=\$
\$=frac{1}{2}*(225+90*sqrt{23}+207)-225-45*sqrt{23}+9=216+45*sqrt{23}-216-45*sqrt{23}=0\$ a \$P_1=0\$; sedí.
\$L_2=frac{1}{2}*(15-3sqrt{23})^2-15*(15-3*sqrt{23})+9=frac{1}{2}(15^2-2*15*3*sqrt{23}+9*sqrt{23}^2)-225+45*sqrt{23}+9=\$
\$=frac{1}{2}*(225-90*sqrt{23}+207)-225-45*sqrt{23}+9=216-45*sqrt{23}-216+45*sqrt{23}=0\$ a \$P_2=0\$; sedí.
Pomocí kalkulačky:
\$L_1=frac{1}{2}*(15+3sqrt{23})^2-15*(15+3*sqrt{23})+9=431,812418549-440,812418549+9=0\$ a \$P_1=0\$; sedí.
\$L_2=frac{1}{2}*(15-3sqrt{23})^2-15*(15-3*sqrt{23})+9=0,187581451-9,187581451+9=0\$ a \$P_2=0\$; sedí.
Poznámka: Při použití kalkulačky mohou vzniknout zaokrouhlovací chyby, tady se to nestalo.
3. příklad: \$27*x^2-36*x-64=0\$, výsledek vypočítejte přesně a poté přibližně, zaokrouhlený na 2 desetinná místa.
Koeficienty: \$a=27, b=-36, c=-64\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-36)^2-4*27*(-64)=1296+6912=8202 \gt 0\$; rovnice bude mít dva reálné kořeny.
\$x_1=frac{-(-36)+sqrt{8202}}{2*27}=frac{36+sqrt{4*2057}}{2*27}=frac{36+2*sqrt{4*513}}{2*27}=frac{36+4*sqrt{9*57}}{2*27}=frac{2*(18+2*3*sqrt{57})}{2*3*9}=frac{2*3*(6+2*sqrt{57})}{2*3*9}=frac{6+2*sqrt{57}}{9} \approx 2.34\$
\$x_2=frac{-(-36)-sqrt{8202}}{2*27}=frac{6-2*sqrt{57}}{9} \approx -1.01\$
Zkouška:
\$L_1=27*(frac{6+2*sqrt{57}}{9})^2-36*(frac{6+2*sqrt{57}}{9})-64=frac{27}{81}*(36+2*6*2*sqrt{57}+4*57)-4*6-8*sqrt{57}-64=\$
\$=frac{1}{3}*(3*12+3*8*sqrt{57}+4*57)-24-8*sqrt{57}-64=12+8*sqrt{57}+frac{4*57}{3}-24-8*sqrt{57}-64=\$
\$=12+76-24-64=0\$; což sedí s \$P_1=0\$
\$L_2=27*(frac{6-2*sqrt{57}}{9})^2-36*(frac{6-2*sqrt{57}}{9})-64=frac{27}{81}*(36-2*6*2*sqrt{57}+4*57)-4*6+8*sqrt{57}-64=\$
\$=frac{1}{3}*(3*12-3*8*sqrt{57}+4*57)-24+8*sqrt{57}-64=12-8*sqrt{57}+frac{4*57}{3}-24+8*sqrt{57}-64=\$
\$=12+76-24-64=0\$; což sedí s \$P_2=0\$
Zkouška pomocí Vietových vzorců: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$ a \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$x_1+x_2=frac{6+2*sqrt{57}}{9}+frac{6-2*sqrt{57}}{9}=frac{6+2*sqrt{57}+6-2*sqrt{57}}{9}=frac{12}{9}\$
\$-frac{b}{a}=-(frac{-36}{27})=frac{3*12}{3*9}=frac{12}{9}\$
\$x_1*x_2=(frac{6+2*sqrt{57}}{9})*(frac{6-2*sqrt{57}}{9})=frac{1}{81}*(36-4*57)=-frac{192}{81}=-frac{3*64}{3*27}=-frac{64}{27}\$
\$frac{c}{a}=-frac{64}{27}\$
Je jisté, že jsme počítali dobře.
4. příklad: \$x*(x-8)=32\$, výsledek vypočítejte přesně a poté přibližně, zaokrouhlený na 2 desetinná místa.
Upravíme rovnici do obecného tvaru: \$x^2-8*x-32=0\$
Koeficienty jsou: \$a=1\$, \$b=-8\$, \$c=-32\$
Diskriminant bude: \$D=b^2-4*a*c=(-8)^2-4*1*(-32)=64+128=192 \gt 0\$, rovnice bude mít v reálných číselch 2 kořeny.
Kořeny jsou: \$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{8+sqrt{192}}{2}=frac{8+sqrt{4*48}}{2}=frac{8+2*sqrt{16*3}}{2}=4+4*sqrt{3}=4*(1+sqrt{3})\$
\$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2*a}=frac{8-sqrt{192}}{2}=frac{8-sqrt{4*48}}{2}=frac{8-2*sqrt{16*3}}{2}=4-4*sqrt{3}=4*(1-sqrt{3})\$
Zkouška:
\$L_1=(4+4*sqrt{3})*(4+4*sqrt{3}-8)=(4+4*sqrt{3})*(-4+4*sqrt{3})=-16+16*sqrt{3}-16*sqrt{3}+16*3=2*16=32\$
\$P_1=32\$, což sedí.
\$L_2=(4-4*sqrt{3})*(4-4*sqrt{3}-8)=(4-4*sqrt{3})*(-4-4*sqrt{3})=-16+16*sqrt{3}-16*sqrt{3}+16*3=2*16=32\$
\$P_2=32\$, což sedí.
Přibližně jsou kořeny:
\$x_1=frac{-36+sqrt{8202}}{2*27} \approx 10.93\$
\$x_2=frac{-36-sqrt{8202}}{2*27} \approx -2.93\$;
Zkouška kalkulačkou, vypočtené kořeny dosadíme do původní rovnice \$x*(x-8)=32\$:
\$L_1=10.93*(10.93-8)=10.93*2.93=32.0249 \approx P_1=32\$
\$L_2=-2.93*(-2.93-8)=-2.93*(-10.93)=32.0249 \approx P_2=32\$
Poznámka: Pro přibližné řešení nám zkouška nevyšla přesně, ale s malou chybou, kterou můžeme zanedbat. Je však lepší počítat přesně, pokud to umíme.
5. příklad: Řešte rovnici \$36*x^2-6*x-6=0\$ a zkoušku udělejte pomocí Vietových vzorců: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$ a \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
Koeficienty jsou: \$a=36, b=-6, c=-6\$
Diskriminant: \$D=(-6)^2-4*36*(-6)=36+24*36=900 \gt 0\$, rovnice bude mít dva reálné kořeny.
\$x_1=frac{6+sqrt{900}}{2*36}=frac{6+30}{2*36}=frac{1}{2}=0.5\$
\$x_2=frac{6-sqrt{900}}{2*36}=frac{6-30}{2*36}=-frac{24}{2*36}=-frac{12}{36}=-frac{2}{6}=-frac{1}{3}\$
Zkouška: \$-frac{b}{a}=-frac{-6}{36}=frac{1}{6}\$
\$x_1+x_2=frac{1}{2}-frac{1}{3}=frac{3-2}{6}=frac{1}{6}\$
\$frac{c}{a}=-frac{6}{36}=-frac{1}{6}\$
\$x_1*x_2=frac{1}{2}*frac{-1}{3}=-frac{1}{6}\$
Vypadá to, že jsme počítali dobře.
6. příklad: Řešte rovnici \$x^2/144-12=0\$ a zkoušku udělejte pomocí Vietových vzorců.
Koeficienty rovnice jsou: \$a=frac{1}{144}, b=0, c=-12\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=0^2-4*frac{1}{144}*(-12)=frac{48}{144}=frac{3*16}{144} > 0\$, rovnice bude mít 2 reálné kořeny.
\$x_1=frac{0+sqrt{frac{3*16}{144}}}{2*frac{1}{144}}=frac{4*sqrt{3}}{sqrt{144}}*frac{144}{2}=frac{4*sqrt{3}}{12}*frac{12*12}{2}=24*sqrt{3}\$
\$x_2=frac{0-sqrt{frac{3*16}{144}}}{2*frac{1}{144}}=-frac{4*sqrt{3}}{sqrt{144}}*frac{144}{2}=-frac{4*sqrt{3}}{12}*frac{12*12}{2}=-24*sqrt{3}\$
\$x_2=-24*sqrt{3} \approx -41.57\$; \$x_1=24*sqrt{3} \approx 41.57\$
Zkouška:
\$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$
\$24*sqrt{3}-24*sqrt{3}=0\$, což sedí protože \$b=0\$.
\$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$24*sqrt{3}*(-24*sqrt{3})=-576*3=-1728\$ to sedí s \$frac{-12}{frac{1}{144}}=-12*144=-1728\$
Poznámka: Zkouška pomocí Vietových vztahů je jednodušší na počítání.
7. příklad: Na čtverečkovaný papír narýsujte graf funkce \$f(x)=x^2/2-x-1\$. Postupujte tak, že si vytvořte tabulku, po krocích 0.5 cm dosazujte za proměnnou x z intervalu \$\langle-3,5\rangle\$ a počítejte funkční hodnotu f(x) tak, že konkrétní hodnotu x dosadíte do předpisu funkce \$x^2/2-x-1\$.
Vytvořte si tabulku pro x, hodnotu funkce f(x):
| x [cm] | f(x) [cm] |
|---|---|
-3.0 |
\$(-3.0)^2*0.5+3.0-1 = 6.50\$ |
-2.5 |
\$(-2.5)^2*0.5+2.5-1 = 4.625\$ |
-2.0 |
\$(-2.0)^2*0.5+2.0-1 = 3.0\$ |
-1.5 |
\$(-1.5)^2*0.5+1.5-1 = 1.625\$ |
-1.0 |
\$(-1.0)^2*0.5+1.0-1 = 0.5\$ |
-0.5 |
\$(-0.5)^2*0.5+0.5-1 = -0.375 \$ |
0 |
\$0^2*0.5-0-1=-1.0\$ |
0.5 |
\$0.5^2*0.5-0.5-1=-1.375\$ |
1.0 |
\$1^2*0.5-1-1=-1.5\$ |
1.5 |
\$1.5^2*0.5-1.5-1=-1.375\$ |
2.0 |
\$2.0^2*0.5-2.0-1=-1.0\$ |
2.5 |
\$2.5^2*0.5-2.5-1=-0.375\$ |
3.0 |
\$3.0^2*0.5-3.0-1=0.5\$ |
3.5 |
\$3.5^2*0.5-3.5-1=1.625\$ |
4.0 |
\$4.0^2*0.5-4.0-1=3.0\$ |
4.5 |
\$4.5^2*0.5-4.5-1=4.625\$ |
5.0 |
\$5.0^2*0.5-5.0-1=6.50\$ |
Spočítané body \${x, f(x)}\$ vyneste do grafu a spojte od ruky, nebo pomocí křivítka.
Poznámka: Pokud se vám klepe ruka, neumíte kreslit od ruky nebo nemáte křivítko, udělejte si jemnější dělení na ose x (třeba po 2 mm nebo po 1 mm) a vynesené body spojte pravítkem.
Potom řešte rovnici \$0=x^2/2-x-1\$, kořeny rovnice by měly odpovídat průsečíkům paraboly s vodorovnou osou grafu.
Rovnice: \$x^2/2-x-1=0\$ koeficienty: \$a=0.5, b=-1, c=-1\$
Determinant \$D=(-1)^2-4*0.5*(-1)=1+2=3\$
Kořeny: \$x_1=frac{1+sqrt{3}}{2*0.5}=1+sqrt{3} \approx 2.73\$
\$x_2=1-sqrt{3} \approx 0.73\$
Podle obrázku to vypadá, že jsme počítali dobře, vlevo parabola protíná osu x na hodnotě -0.75 a vpravo 2.75, což přibližně odpovídá vypočteným kořenům.
