Řešení domácího úkolu č.7

1. příklad: \$2*u^2+8*u+15=0\$

Koeficienty kvadratické rovnice jsou: \$a=2\$, \$b=8\$ a \$c=15\$.

Diskriminant bude: \$D=b^2-4*a*c=8^2-4*2*15=64-8*15=64-120=-56\$.

Vidíme, že diskriminant je záporný a proto rovnice nemá v reálných číslech řešení.

2. příklad: \$16*u^2-8*u+1=0\$

Koeficienty kvadratické rovnice budou: \$a=16, b=-8, c=1\$

Diskriminant bude: \$D=b^2-4*a*c=(-8)^2-4*16*1=64-64=0\$.

Vidíme, že deterninant je 0, proto bude mít rovnice jeden dvojnásobný kořen.

Dosadíme do vzorce \$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}\$ a \$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}\$

Kořen rovnice je: \$x_1=x_2=frac{-1*(-8) + sqrt{0}}{2*16}=frac{8}{32}=frac{1}{4}\$

Zkouška: \$L=16*(frac{1}{4})^2-8*frac{1}{4}+1=frac{16}{16}-frac{8}{4}+1=1-2+1=0\$; \$P=0\$, což sedí.

3. příklad: \$v^2+20*v=156\$

Kvadratickou rovnici upravíme do obecného tvaru tak, že odečteme od obou stran rovnice číslo 156.

\$v^2+20*v-156=0\$

Koeficienty jsou \$a=1, b=20, c=-156\$ a neznámá se jmenuje \$v\$, což nás nepřekvapuje, protože pro označení koeficientů i neznámé můžeme použít libovolná písmena.

Určíme diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=20^2-4*1*(-156)=400+4*156=400+624=1024 > 0\$

Kvadratická rovnice bude mít v reálných číslech dva různé kořeny.

\$v_1=frac{-20+sqrt{1024}}{2*1}=frac{-20+32}{2}=6\$ a \$v_2=frac{-20-sqrt{1024}}{2*1}=frac{-20-32}{2}=-26\$

Zkouška: Pro kořen \$v_1=6\$ → \$L_1=6^2+20*6=36+120=156\$; \$P_1=156\$, což sedí.

Pro kořen \$v_2=-26\$ → \$L_2=(-26)^2+20*(-26)=676-520=156\$; \$P_2=156\$, což opět sedí.

Zkouška potvrdila, že jsme počítali dobře.

4. příklad: \$3*v^2=v+4\$

Rovnici upravíme do obecného tvaru tak, že odečteme od obou stran rovnice výraz \$v+4\$.

\$3*v^2-v-4=0\$

Koeficienty jsou \$a=3, b=-1, c=-4\$ a neznámá se jmenuje \$v\$, což nás nepřekvapuje, protože pro označení koeficientů i neznámé můžeme použít libovolná písmena.

Určíme diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-1)^2-4*3*(-4)=1+48=49 > 0\$

Kvadratická rovnice bude mít v reálných číslech dva různé kořeny.

\$v_1=frac{1+sqrt{49}}{2*3}=frac{1+7}{6}=frac{8}{6}=frac{4}{3}\$ a \$v_2=frac{1-sqrt{49}}{2*3}=-frac{6}{6}=-1\$

Zkouška: Pro kořen \$v_1=frac{4}{3}\$: → \$L_1=3*(frac{4}{3})^2=3*frac{16}{9}=frac{16}{3}\$; \$P_1=frac{4}{3}+4=frac{4+12}{3}=frac{16}{3}\$, což sedí.

Pro kořen \$v_2=-1\$: → \$L_2=3*(-1)^2=3\$; \$P_2=-1+4=3\$ což opět sedí.

Zkouška potvrdila, že jsme počítali dobře.

Zde si všimněte, že ekvivalentní operace odečtení proměnné v od obou stran rovnice sice změnila obrázek, ale nijak nezměnila kořeny rovnice.

Rovnice teď bude vypadat takto \$3*v^2-v=4\$.

Uděláme ještě jednu ekvivalentní operaci, odečteme od obou stran rovnice číslo 4.

Rovnice teď bude vypadat takto \$3*v^2-v-4=0\$, máme ji v obecném tvaru.

Překvapení se nekoná, kořeny jsou stejné \$v_1=-1\$ a \$v_2=1frac{1}{3}\$

5. příklad: \$5*x^2-20x=5\$

Rovnici upravíme do obecného tvaru tak, že odečteme od obou stran rovnice číslo \$5\$.

\$5*x^2-20*x-5=0\$

Koeficienty kvadratické rovnice jsou \$a=5, b=-20, c=-5\$.

diskriminant \$D=b^2-4*a*c=(-20)^2-4*5*(-5)=400+100=500>0\$

diskriminant je kladný, rovnice bude mít 2 reálné kořeny.

Kořeny jsou: \$x_1=frac{-(-20)+sqrt{500}}{2*5}=frac{20+sqrt{5}*sqrt{100}}{10}=frac{20+10*sqrt{5}}{10}=2+sqrt{5}\$

\$x_2=frac{-(-20)-sqrt{500}}{2*10}=frac{20-10*sqrt{5}}{10}=2-sqrt{5}\$

Zkouška:

\$L_1=5*(2+sqrt{5})^2-20*(2+sqrt{5}) = 5*(2+sqrt{5})*(2+sqrt{5})-40-20*sqrt{5}=5*(4+2*sqrt{5}+2*sqrt{5}+sqrt{5}^2)-40-20*sqrt{5}=20+20*sqrt{5}+25-40-20*sqrt{5}=5\$

\$P_1=5\$, což sedí.

\$L_2=5*(2-sqrt{5})^2-20*(2-sqrt{5})=5*(2^2-2*2*sqrt{5}+sqrt{5}^2)=5*(4-4*sqrt{5}+5)-40+20sqrt{5}=20-20*sqrt{5}+25-40+20*sqrt{5}=5\$

\$P_2=5\$, což opět sedí.

Zkouška potvrdila, že jsme počítali dobře.

Ekvivalentní operace (odečtení od obou stran rovnice čísla 5) nám kořeny rovnice nijak nezmění.

6. příklad: \$x^2+3=4*sqrt{3}*x\$

Rovnici upravíme do obecného tvaru tak, že odečteme od obou stran rovnice výraz \$4*sqrt{3}*x\$.

\$x^2-4*sqrt{3}*x+3=0\$

Koeficienty kvadratické rovnice jsou \$a=1, b=-4*sqrt{3}, c=3\$.

diskriminant bude \$D=b^2-4*a*c=(-4*sqrt{3})^2-4*1*3=16*3-12=48-12=36>0\$

Rovnice bude mít dva reálné kořeny.

\$x_1=frac{4*sqrt{3}+sqrt{36}}{2*1}=frac{4*sqrt{3}+6}{2}=2*sqrt{3}+3\$

\$x_2=2*sqrt{3}-3\$

Zkouška:

\$L_1=(2*sqrt{3}+3)^2+3=4*3+2*2*sqrt{3}*3+9+3=12+4*sqrt{3}+12=24+4*3*sqrt{3}=24+12*sqrt{3}\$

\$P_1=4*sqrt{3}*(2*sqrt{3}+3)=8*3+12*sqrt{3}=24+12*sqrt{3}\$

\$L_2=(2*sqrt{3}-3)^2+3=4*3-2*2*sqrt{3}*3+9+3=12-12*sqrt{3}+9+3=24-12*sqrt{3}\$

\$P_2=4*sqrt{3}*(2*sqrt{3}-3)=8*3-12*sqrt{3}=24-12*sqrt{3}\$

Zkouška sedí a proto jsme počítali dobře.