Řešte rovnice:
a) \$x^2 - 4 = 0\$
Řešení je triviální. Vidíme ryze kvadratickou rovnici s koeficienty \$a=1\$ a \$c = -4\$.
Kořeny jsou \$x_1 = 2\$ a \$x_2 = -2\$, protože \$2^2=4\$ a také \$(-2)^2=4\$.
Zkouška:
Levá strana pro kořen \$x_1 = 2\$: \$L=2^2 - 4 = 0\$. Je rovno pravé straně \$P=0\$.
Levá strana pro kořen \$x_2 = -2\$: \$L=(-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0\$. Je rovno pravé straně \$P=0\$.
Kdo by trivialitu neviděl, tak provede ekvivalentní úpravu, přičte k oběma stranám rovnice 4 a dostane:
\$x^2 = 4\$
a odtud je to již vidět. Pro které číslo umocněné na druhou dostaneme čtyřku? Pro 2 a (-2). Protože \$2^2 = 2*2 = 4\$ a také \$(-2)^2 = (-2)*(-2) = 4\$.
Tuto rovnici \$x^2 - 4 = 0\$ jsme již řešili v domácím úkolu č.3 trochu jiným postupem (Pravidlo "divide et impera"):
-
krok Použijeme vzorec \$(a+b)*(a-b)=(a^2 - b^2)\$
-
\$(x+2)*(x-2) = 0\$
-
-
krok Součin je roven 0, pokud je některý z činitelů roven 0.
-
\$x+2 = 0\$ nebo \$x-2 = 0\$
-
Z toho plyne, že kořeny rovnice jsou:
-
\$x=-2\$ nebo \$x=2\$ .
-
b) \$sqrt{9}*x^2 = abs(-9)\$ (není v tom žádná zákeřnost)
Absolutní hodnota \$abs{-9} = 9\$ a \$sqrt{9} = 3\$.
Máme rovnici \$3*x^2 = 9\$ teď můžeme udělat ekvivalentní úpravu a vydělit rovnici \$3\$ a dostáváme rovnici
\$x^2 = frac{9}{3}\$ → \$x^2 = 3\$
Kořeny rovnice jsou vidět: \$x_1 = sqrt{3}\$ a \$x_2 = - sqrt{3}\$
Zkouška pro kořen \$x_1 = sqrt{3}\$ : \$L=sqrt{9}*(sqrt{3})^2 = 3*sqrt{3}^2 = 3*3 = 9\$. Sedí s pravou stranou \$abs(-9) = 9\$.
Zkouška pro kořen \$x_2 = -sqrt{3}\$ : \$L=sqrt{9}*(-sqrt{3})^2 = 3*(-sqrt{3})^2 = 3*3 = 9\$. Sedí s pravou stranou \$abs(-9) = 9\$.