Domácí úkol č. 5
Určete zda je rovnice kvadratická a pokud ano, tak ji převeďte do základního tvaru a určete její koeficienty:
a) \$2x+6-x^2=0\$
b) \$5=12+x^2+2x-5x^2+2\$
c) \$x^2=2x+frac{3}{x}\$
d) \$(x+6)*(x-6)=6\$
e) \$(x-2)*(x+2)*(x-2) = frac{\pi}{2}\$
Řešení
a) Proházíme jednotlivé členy do správného pořadí: \$-x^2+2*x+6=0\$ a vidíme, že rovnice je kvadratická s koeficienty:
kvadratický koeficient: \$a=-1\$; lineární koeficient \$b=2\$; absolutní koeficient \$c=6\$
b) \$5=12+x^2+2x-5x^2+2\$ Prohodím levou a pravou stranu rovnice: \$x^2-5*x^2+2*x+2+12=5\$
Sloučím: \$(1-5)*x^2+2*x+14=5\$, odečtu od obou stran rovnice číslo \$-5\$: \$(-4)*x^2+2*x+14-5=0\$ → \$(-4)*x^2+2*x+9=0\$
Vidím, že rovnice je kvadratická s koeficienty: \$a=-4; b=2; c=9\$.
c) \$x^2=2x+frac{3}{x}\$ Potřebuji se zbavit proměnné x ve jmenovateli zlomku, proto provedu neekvivalntní operaci a obě strany rovnice vynásobím proměnnou x.
\$x^2*x=2*x*x+frac{3*x}{x}\$ upravím na: \$x^3=2*x^2+3\$
Je vidět, že rovnice není kvadratická (máme člen s vyšší mocninou x než 2). Rovnice je kubická, protože na levé straně máme \$x^3\$. Tím počítání končí.
d) \$(x+6)*(x-6)=6\$ Roznásobím mnohočleny na levé straně:
\$x^2-6*x+6*x-36=6\$ a upravím na \$x^2+0*x-36=6\$; provedu ekvivalentní operaci, odečtu od obou stran rovnice 6 a dostanu: \$x^2-42=0\$.
To je kvadratická rovnice s koeficienty \$a=1; b=0; c=-42\$.
e) \$(x-2)*(x+2)*(x-2) = frac{\pi}{2}\$ Vynásobím mnohočleny na levé straně rovnice: \$(x^2+2*x-2*x-4)*(x-2) = frac{\pi}{2}\$, upravím: \$(x^2-4)*(x-2)=frac{\pi}{2}\$a pokračuji v násobení:
\$(x^3-4*x -2*x^2+8) = frac{\pi}{2}\$
Zde už vidím, že rovnice není kvadratická ale kubická a proto počítání končí.
Práce 20 minut. V bodě b) byla chyba, která je opravena. Práce kvapná, málo platná. Děkuji Davidu Chocholoušovi za opravu.