Domácí úkol číslo 4 - řešení

a) Řešení je triviální: Kořeny rovnice \$abs(-x) = 4\$ jsou: \$x_1=4\$ a \$x_2 = -4\$, protože \$abs(-4) = 4\$ a \$abs(4) = 4\$.

b) Opět jednoduchá věc. \$sqrt(3)*sqrt(3) = 3\$, první kořen je \$x_1 = sqrt(3)\$ . Co se stane, když udělám absolutní hodnotu z výrazu \$(sqrt(3)* -sqrt(3))\$ ? Dostanu hodnotu 3, protože \$abs(sqrt(3)*-sqrt(3)) = abs(-3)= 3\$. Druhý kořen rovnice \$x_2 = -sqrt(3)\$.

c) Kdy je absolutní hodnota nějakého čísla nebo výrazu rovna 0. Jenom tehdy, když je ono číslo nebo výraz roven 0. Proto řešíme jednoduchou rovnici \$3+4*x = 0\$. Absolutní hodnota nemá žádný vliv.

Budeme pro názornost používat ekvivalentní úpravy.

\$3+4*x = 0\$ ekvivalentní úprava: odečteme od obou stran rovnice -3.

\$4*x = -3\$ ekvivalentní úprava: vydělíme obě strany rovnice 4.

\$x = -frac{3}{4}\$ je řešení rovnice.

Kdo by si myslel, že řešením rovnice bude i číslo \$frac{3}{4}\$, tak pokud udělá zkoušku, tak mu vyjde:

Levá strana rovnice: \$abs(3+4*frac{3}{4}) = abs(3+3) = 6\$, což se rozhodně nerovná pravé straně rovnice 0.

d) Absolutní hodnota z libovolného čísla je vždycky nezáporné číslo, jak nám plyne z definice. Proto tato rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení, protože na pravé straně rovnice máme záporné číslo.

e) Když jsme mluvili o geometrickém významu absolutní hodnoty, tak jsme řekli, že \$abs(a-b)=abs(b-a)\$. A to je tento případ. Tato rovnice má řešení nekonečně mnoho, resp. platí pro libovolné \$x \in R\$. Kdo tomu nevěří, tak ať udělá zkoušku, ale ta zkouška mu bude trvat "hodně" dlouho.

f) Na první pohled těžká věc, ale jenom na první pohled.

Kdy se nějaký \$výraz = - výraz\$? Jenom tehdy, pokud \$výraz = 0\$, absolutní hodnota tohoto výrazu opět nemá žádný vliv.

Řešíme tedy rovnici \$x+frac{1}{2}*\pi = 0\$. Nebudeme to dlouze rozepisovat, protože kořen této rovnice je vidět na první pohled a je \$x = -frac{\pi}{2}\$.

Pro jistotu uděláme zkoušku:

Levá strana:

\$abs(-frac{\pi}{2}+frac{1}{2}*\pi) = abs(-frac{\pi}{2}+frac{\pi}{2}) = abs(0) = 0 \$

Pravá strana:

\$-abs(-frac{\pi}{2}+frac{1}{2}*\pi) = -abs(-frac{\pi}{2}+frac{\pi}{2}) = -abs(0) = 0 \$

Poznámka pro šťouraly: Při programování v některých programovacích jazycích se vám může stát, že \$-0 ne 0\$. Ale to je kvůli tomu, že počítače moc dobře počítat neumí, zvláště v reálných číslech. Umí počítat jenom ve velmi děravé podmnožině celých čísel, svoje počítání maskují všelijakými nečistými triky a někdy se jejich špinavé triky provalí. V matematice vždy platí, že \$-0 = 0\$. 0 není ani kladné číslo, ani záporné číslo. 0 je neutrální.