Řešení domácího úkolu č. 22

Vzorec pro výpočet plochy pravoúhlého trojúhelníka si buď pamatujeme ze základní školy, nebo ho můžeme odvodit tak, že rozdělíme úhlopříčkou obdélník o stranách \(a\) a \(b\)

Vzorec pro výpočet plochy obdélníka známe \(S_o=a\cdot b\), proto plocha pravoúhlého trojúhelníka bude \(S_t=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b\)

Formálně můžeme zapsat vztah nepřímé úměrnosti mezi proudem a odporem vztahem \(I=\frac{U}{R}\) (Ohmův zákon z fyziky).
Závisle promměná veličina je proud, nezávisle promměná veličina je odpor obvodu (ten si volíme). K vyjádření naší funkce stačí spočítat napětí pro konkrétní hodnoty odporu a proudu, které známe.
Proud si převedeme na ampéry, aby nám napětí vyšlo ve voltech \(30 mA=0.03 A\). Dosadíme do vzorce a máme konkrétní napětí.

\(0.03=\frac{U}{380}\) - > \(U=0.03\cdot 380=11.4 V\)

Náš funkční vztah bude: \(I=\frac{11.4}{R}\)

Kdo by si chtěl ověřit správnost výpočtu na simulátoru, tak může tady.

Obvodová rychlost mezi dvěma ozubenými koly musí být stejná. Vztah mezi obvodovou rychlostí a úhlovou rychlostí známe z fyziky \(v=2\pi\cdot\omega\cdot r\), kde \(v\) je obvodová rychlost v \(m\cdot s^{-1}\) a \(\omega\) je úhlová rychlost, \(r\) je potom poloměr ozubeného kola. (Je totiž pro matematický výpočet úplně jedno, zda je kolo ozubené nebo hladké).

Bude platit, že obvodové rychlosti se rovnají \(v_1=v_2\), dosadíme do vztahu za \(v_1=2\pi\cdot\omega_1\cdot r_1\) a \(v_2=2\pi\cdot\omega_2\cdot r_2\).

\(2\pi\cdot\omega_1\cdot r_1=2\pi\cdot\omega_2\cdot r_2\)

Převodní vztah mezi kolečky je po úpravě:

\(n_1\cdot d_1=n_2\cdot d_2\) (místo \(2\cdot r\) dosazujeme rovnou poloměr \(d\) a místo \(\pi\omega\) dosazujeme \(n\))

Takže pro naše kolečka to bude \(n_1\cdot d_1=400*10\). Počet otáček \(n_1\) bude závisle proměnná (funkční hodnota), která závisí nepřímo úměrně na průměru \(d_1\).

Funkce bude mít zápis: \(n=\frac{4000}{d_1}\). Průměr známého kolečka \(d_2=400\) máme v milimetrech, proto budeme dosazovat za \(d_1\) zase milimetry.

Definiční obor funkce musí být nějak rozumně omezen, matematicky musíme mít kolečko o průměru větším než 0, fyzikálně to bude mnohem složitější, nejmenší zubatá kolečka, co jsem viděl u malých motorků, mají šest zubů a průměr kolem 4 mm.

Z grafu můžeme ověřit, že jsme počítali dobře.

Úlohu budeme řešit striktně matematicky, nebudeme uvažovat, že plech se prodává v obdélníkových tabulích a že budeme potřebovat něco na okraje apod.

Povrch válce spočítáme podle následující úvahy: 2x podstava (kruh) + plášť (obdélník o rozměrech výška válce krát obvod podstavné kružnice). To nám vede ke vzorci:

\(S=2\pi\cdot r^2 + 2\cdot \pi\cdot r\cdot v=2\pi r(r+v)\)

Dále budeme potřebovat vzorec pro výpočet objemu válce \(V=\pi\cdot r^2\cdot v\). Tady známe \(V=2\ dm^3=2000\ cm^3\). Dosadíme do vzorce pro objem a vyjádříme si výšku \(v\), kterou pak dosadíme do vzorce pro povrch.

\(2=\pi\cdot r^2\cdot v\)

\(v=\frac{2}{\pi\cdot r^2}\)

dosadíme za \(v\) do vzorce pro povrch:

\(S=2\pi\cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot \frac{2}{\pi\cdot r^2}=2\pi r^2+\frac{4}{r}\)

Funkce závislosti spotřeby plechu na poloměru podstavy válce pro válec o objemu \(2\ dm^3\) je: \(\mathbf{S=2\pi r^2+\frac{4}{r}}\), poloměr \(r\) se bude zadávat v \([dm]\), plocha \(S\) bude vycházet v \([dm^2]\)

Z grafu je vidět, že funkce má minimum pro poloměr \(r\approx 6.8\ cm\), spotřeba plechu bude \(S\approx 8.8\ dm^2\). Můžeme spočítat i výšku válce \(v=\frac{2}{\pi r^2}=\frac{2000}{\pi\cdot 6.8^2}\approx 13.8\ [cm]\)