Příklad 21.1: Udělejte si přehlednou tabulku s vlastnostmi a grafy funkce \(t: y=\frac{k}{x}, x\in R - {0}\), kde parametr \(k \in R - {0}\). Zajímavé je hlavně to, jak bude funkce vypadat a jaké bude mí vlastnosti pro \(k>0\) a \(k<0\), zda bude rostoucí nebo klesající, omezená a zda bude mít maximum nebo minumum.
Řešení 21.1
| \(k>0\) | \(k<0\) |
|---|---|
|
|
na intervalu \(x \in (-\infty, 0)\) omezená shora 0 |
na intervalu \(x \in (-\infty, 0)\) omezená zdola 0 |
na intervalu \(x \in (-\infty,0)\) klesající |
na intervalu \(x \in (-\infty,0)\) rostoucí |
nemá maximum |
nemá maximum |
nemá minimum |
nemá minimum |
lichá |
lichá |
Příklad 21.2: Obdélníková pracela o rozměrech 25 metrů a 17 metrů má být směněna za jinou parcelu obdélníkového tvaru, která bude mít stejnou výměru, ale její šířka bude 12 metrů. Jakou délku bude mít nová parcela?
Řešení 21.2
Celková výměra staré parcely \(S=a*b=25*17=425 m^2\) musí být stejná s výměrou nové parcely \(425=12*b\) → \(b=\frac{425}{12}=35.4 m\).
Příklad 21.3: Vzdálenost mezi Prahou a Hradcem Králové je 118 km. Najděte funkci, která udává, jak závisí doba jízdy auta z Prahy do Hradce na jeho průměrné rychlosti. Předpokládejte, že minimální průměrná rychlost jízdy je \(30 km*h^{-1}\) a maximální průměrná rychlost je \(80 km*h^{-1}\). Sestrojte graf této funkce. Určete přibližnou dobu jízdy z Prahy do Hradce pro průměrné rychlosti \(40 km*h^{-1}\) a \(55 km*h^{-1}\).
Řešení 21.3
Z fyziky víme, že vztah mezi dráhou \(s\), rychlostí \(v\) a časem \(t\) je tento: \(s=v*t\). Budeme používat jednotky: pro vzdálenost \(km\), pro rychlost \(km*h^{-1}\) a pro čas \(h\) (hodiny).
Dráha (vzdálenost) je známá, 118 km viz https:\\mapy.cz. Pro různé průměrné rychlosti se nám bude měnit doba, za kterou překonáme vzdálenost z Prahy do Hradce Králové. Funkce bude \(t=\frac{s}{v}=\frac{118}{v}\). Nezávisle proměnná je rychlost, na ní závisí čas jízdy. Definiční obor funkce jsme omezili na rozmezí průměrných rychlostí od minimální 30 km/h do maximální 80 km/h.
Doba jízdy pro průměrnou rychlost 40 km/h bude 2.95 hodiny (2 hodiny 57 minut), pro průměrnou rychlost 55 km/h to bude 2.15 hodiny (2 hodiny 9 minut).