1. řešte rovnici: \$11=121*x*x\$
Převedeme rovnici do obecného tvaru: \$-121*x^2+11=0\$
Koeficienty jsou: \$a=-121, b=0, c=11\$, je to ryze kvadratická rovnice, nebudeme se zabývat diskriminantem a použijeme Vietovy vztahy.
Protože koeficient \$a \lt 0\$ a \$c \gt 0\$, tak budeme mít dvě řešení:
\$x_1=-sqrt{frac{-c}{a}}=-sqrt{frac{-11}{-121}}=-frac{sqrt{11}}{sqrt{121}}=-frac{sqrt{11}}{11}\$
\$x_2=sqrt{frac{-c}{a}}=sqrt{frac{-11}{-121}}=frac{sqrt{11}}{sqrt{121}}=frac{sqrt{11}}{11}\$
Zkouška klasicky dosazením do rovnice:
Pro 1. kořen: \$L_1=11\$ a \$P_1=121*(-frac{sqrt{11}}{11})*(-frac{sqrt{11}}{11})=121*frac{sqrt{11}^2}{11*11}=11\$, což nám sedí.
Pro 2. kořen: \$L_2=11\$ a \$P_2=121*(frac{sqrt{11}}{11})*(frac{sqrt{11}}{11})=121*frac{sqrt{11}^2}{11*11}=11\$, což nám sedí.
Zkouška Vietovými vzorci:
\$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$-frac{sqrt{11}}{11}*frac{sqrt{11}}{11}=-frac{sqrt{11}*sqrt{11}}{121}=-frac{11}{121}\$, což sedí s \$frac{c}{a}=frac{11}{-121}=-frac{11}{121}\$
\$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$
\$x_1+x_2=-frac{sqrt{11}}{11}+frac{sqrt{11}}{11}=0\$, což sedí s tím, že lineární koeficient \$b=0\$
2. řešte rovnici: \$12*x-48+frac{1}{x}=0\$
Vynásobíme obě strany rovnice výrazem \$x\$. Vidíme, že možný kořen \$x \ne 0\$, protože neumíme dělit 0:
\$12*x^2-48*x+1=0\$, to je krásná kvadratická rovnice.
Koeficienty: \$a=12,b=-48,c=1\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-48)^2-4*12*1=2304-48=2256 \gt 0\$, rovnice bude mít 2 kořeny.
\$x_1=frac{48+sqrt{2256}}{2*12}=frac{48+sqrt{16*141}}{24}=frac{12+sqrt{141}}{6} \approx 3.98\$
\$x_2=frac{48-sqrt{2256}}{2*12}=frac{12-sqrt{141}}{6} \approx 0.02\$
Zkouška:
\$L_1=12*(frac{12+sqrt{141}}{6})-48+frac{1}{frac{12+sqrt{141}}{6}}=2*(12+sqrt{141})-48+frac{6}{12+sqrt{141}}=\$
Převedeme na společný jmenovatel \$12+sqrt{141}\$.
\$=frac{2*(12+sqrt{141})*(12+sqrt{141})-48*(12+sqrt{141})+6}{12+sqrt{141}}=frac{2*(144+24*sqrt{141}+141)-576-48*sqrt{141}+6}{12+sqrt{141}}=\$
\$=frac{288+48*sqrt{141}+282-576-48*sqrt{141}+6}{12+sqrt{141}}=frac{288+282-576+6}{12+sqrt{141}}=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=12*(frac{12-sqrt{141}}{6})-48+frac{1}{frac{12-sqrt{141}}{6}}=2*(12-sqrt{141})-48+frac{6}{12-sqrt{141}}=\$
Převedeme na společný jmenovatel \$12-sqrt{141}\$.
\$=frac{2*(12-sqrt{141})*(12-sqrt{141})-48*(12-sqrt{141})+6}{12-sqrt{141}}=frac{2*(144-24*sqrt{141}+141)-576+48*sqrt{141}+6}{12-sqrt{141}}=\$
\$=frac{288-48*sqrt{141}+282-576+48*sqrt{141}+6}{12-sqrt{141}}=frac{288+282-576+6}{12-sqrt{141}}=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
3. řešte rovnici: \$825*x^2-412.5*x+1=0\$
Koeficienty: \$a=825, b=-412.5, c=1\$
Diskriminant: \$D=(-412.5)^2-4*825*1=170156.25-3300=166856.25 \gt 0\$, rovnice bude mít 2 kořeny.
Diskriminant máme v takovém divném tvaru, upravíme ho takto \$D=166856.25*frac{4}{4}=frac{667425}{4}\$
Kořeny budou: \$x_1=frac{412.5+sqrt{frac{667425}{4}}}{2*825}=frac{412.5+frac{sqrt{25*26697}}{2}}{2*825}=frac{frac{825+5*sqrt{26697}}{2}}{2*825}=frac{frac{5*(165+sqrt{26697})}{2}}{2*165*5}=frac{165+sqrt{26697}}{4*165}=frac{165+sqrt{26697}}{660} \approx 0.50\$
\$x_2=frac{165-sqrt{26697}}{660} \approx 0.0\$
Zkouška: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$ ; \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$frac{165+sqrt{26697}}{660}+frac{165-sqrt{26697}}{660}=frac{2*165}{660}\$; sedí s \$-frac{b}{a}=frac{412.5}{825}=frac{2.5*165}{1.25*660}=frac{2*165}{660}\$
\$(frac{165+sqrt{26697}}{660})*(frac{165-sqrt{26697}}{660})=frac{165^2-2*165*sqrt{26697}+26697}{660^2}=0.0012\bar{12}\$; což sedí s \$frac{1}{825}=0.0012\bar{12}\$